Introducción a los espacios de Sóbolev

Abstract

El ambiente en el cual estaremos inmersos en este trabajo ser á netamente anal í tico, pues as í lo amerita el tema a desarroll ar acerca de los espacios de S ó bole v, los cuales tienen estructura de espacio de Banach y espacio de Hilbert. Empezaremos recordando conceptos fundamentales tales como espa cio vectorial, espacio normado, espacio métrico, espacio topol ó gico, espacio medible, espacio de Hilbert y espacio de Banach. Pues estos son conceptos base a partir de los cuales se construyen los espacios de S ó bolev; ya que ellos se soportan en los espacios L p y L in nit o de nidos sobre un subconjunto de un espacio medible, los que a su vez son espacios de Banach. Para definir los espacios a trabajar, introducimos teor í a de distribuciones, específica camente l as dis tribuciones de las derivadas d é biles (derivada dist ribucional) de las funciones en espacios L, las cuales se de fi nen cuando las funciones en los espacios L satisfacen la f ó rm ula de integraci ó n por partes. Con base en ello, de fi nimos formalmente a lo s espacios de S ó bolev como espacios de funciones medibles en L p o L in nit o tales que tienen derivadas d ébiles y estas est á n tambi é n en L p o L in nito respectivamente. Habiendo ya de nido a los espacios de S ó bolev en general, particularizamos con el espacio de S ó bolev en una dimensi ó n; para luego justi fi car su comportamiento como espacio de Banach y de espacio de Hilbert, que ser á el resultado principal de é ste trabajo.