Teoría Espectral de Operadores Normales y Operadores Autoadjuntos en Espacios de Hilbert

Abstract

Afortunadamente para la humanidad nació David Hilbert, personaje capaz de brindar otras formas de pensamiento, implicando con ello otras formas de observar las realidades. Dentro del ámbito del conocimiento matemático es crucial cuando surge una teoría capaz de generalizar muchas otras alrededor de ella, sobre todo porque con ello se generaliza todo un lenguaje capaz de mostrar claramente la solución de muchos problemas y de agilizar la solución de ellos. También se abren muchas posibilidades de visionar la solución de problemas no resueltos y de generalizar muchos resultados. Precisamente esto sucede con el Análisis Funcional, que como tal fue surgiendo a principios del siglo X X como el marco abstracto adecuado para solucionar una serie de problemas del Análisis muy importantes en esos momentos. Desde entonces ha experimentado un gran desarrollo y en este momento es una herramienta muy sofisticada útil para abordar una amplia variedad de problemas. Desde el desarrollo del Cálculo Diferencial, al considerar las soluciones de una ecuación diferencial, se vio que en ocasiones era necesario considerar propiedades del espacio (o conjunto) de soluciones de la ecuación, pero no estaba claro cuál era la estructura que poseía dicho espacio de soluciones. Los trabajos de D. Bernouilli (1700-1782), Lagrange (1736-1813) y sobre todo Fourier (1772-1837) acerca de la resolución de ecuaciones diferenciales se empiezan a enfrentar a cuestiones que anticipan lo que será el desarrollo posterior del Análisis Funcional. Una de las características comunes a varios de estos procesos era el paso de un problema finito, por ejemplo la solución de un sistema finito de ecuaciones lineales, a la versión infinita del problema, lo que les fuerza a enfrentarse a situaciones de convergencia que en esa época no eran entendidos. Afortunadamente en una serie de esfuerzos de grandes matemáticos del momento se da la creación de la teoría de operadores como una herramienta sofisticada de resolver dichos problemas. Esperamos que esta revisión, motive a quien generosamente lea este trabajo a profundizar en el tema, puesto que la gran variedad de problemas interesantes ligados a esta teoría es de gran interés y belleza.