Aplicaciones de losmodelos de oscilación y de reacción - difusión a situaciones reales

Abstract

El presente trabajo de grado se realiza para la obtención de título en Licenciatura enMatemáticas, de la Universidad Surcolombiana. Elaborado bajo la asesoría del docente Luis Eduardo Polanía Quiza. El objetivo principal del proyecto es mostrar las diferentes situaciones de la realidad que se adaptan a los modelos matemáticos de oscilación y de reacción-difusión. Estas situaciones están en el campo de la ecología, biología, la química, la física, la ingeniería y las comunicaciones. Haciendo especial énfasis en los ecosistemas (con ambos modelos). En los sistemas de reacción-difusión podemos observar la dinámica interactuante entre sistemas difusivos y sistemas receptores (como el agua al recibir una gota de tinta) se puede observar que cada sistema va a tender a conservar su estado, pero pormúltiples interacciones entre partículas de ambos sistemas logran que haya un acoplamiento de estos dos. Esto visto cualitativamente origina patrones espacio temporales que describe la dinámica de difusión de las partículas de un sistema en otro, lo que origina una reacción. Existen diversos ejemplos reales tales como: la pigmentación de los peces, lasmanchas de las cebras, entre otros. También existen fenómenos que forman patrones temporales como el cantar de una chicharra al atardecer (ritmos circadianos), la presencia de personas en las calles de una ciudad durante las llamadas horas picos, a este tipo de eventos los podemos considerar como pertenecientes a un sistema oscilante, que este a su vez está contenido en un sistema de reacción difusión. Este Trabajo de Grado titulado “Aplicaciones de los modelos de oscilación y de reacción-difusión a situaciones reales” pretende demostrar la multifuncionalidad de los modelos de oscilación y reacción-difusión con su aplicación en diferentes contextos empleando como herramienta de trabajo la teoría de las ecuaciones diferenciales en la modelación de situaciones particulares de la vida. Específicamente queremos mostrar algunas situaciones que se adaptan a los modelos mencionados, tales como el comportamiento oscilatorio en el equilibrio de un ecosistema estratégico, el comportamiento de la elasticidad en resortes, el llenado de un lago, el comportamiento de la densidad poblacional de losmosquitos, y el fenómeno de reacción-difusión en los crímenes de una ciudad, en la disolución de sustancias, en la distribución de la información en la población, en las redes sociales, entre otros. Para lograr esto partiremos de bases de datos de otras investigaciones que nos permitan establecer las diferentes variables y parámetros de las situaciones con comportamiento oscilatorio o de reacción-difusión; de igual forma emplearemos elementos de la física básica, solución de ecuaciones diferenciales, cálculo en varias variables y elementos de la química básica.